标准差公式简化

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标准差公式简化

标准差（standard deviation）是反映一组数据离散程度大小的统计量。它可以衡量数据集的平均值与每个数据的离差之间的差异程度，从而揭示这组数据的整体分布情况。标准差的计算公式为：

标准差 = √(∑(x_i - x / N) )²

其中，x_i 是数据集中的每个数据点，x 是数据集的平均值，N 是数据集的总个数。

为了简化标准差的计算过程，我们可以通过一些数学技巧将其公式进行变形和简化。

首先，考虑标准差公式中的平方运算。实际上，我们可以先计算数据点与平均值之间的差异，然后再进行平方运算。为了将平方运算引入到求和符号中，我们可以进行如下改写：

∑(x_i - x = ∑(x_i² - 2x_i * x) )² + x²

接下来，我们将这个表达式展开：

∑(x_i - x = ∑x_i² - 2x )² ∑x_i + ∑x²

其中∑x_i²表示所有数据点的平方和，∑x_i表示所有数据点之和，∑x表示平均值的平方乘以数据点的个数。由于 ∑x_i 是 N ²个 x 的累加，即 ∑x_i = Nx，我们可以将上式继续改写为：


∑(x_i - x = ∑x_i² - 2x ∑1 + ∑x )²²² = ∑x_i² - 2Nx + Nx ²² = ∑x_i² - Nx ²

将这个新的表达式代入标准差的公式中：

标准差 = √((∑x_i² - Nx) / N) ²

为了计算∑x_i²，我们可以将每个数据点的平方进行累加得到总和。然后，我们可以进一步将这个总和进行平方运算，得到 (∑x_i)²。

标准差 = √((∑x_i² - Nx) / N) ² = √((∑x_i² - Nx + (∑x_i)² - (∑x_i)²) / N) ² = √(((∑x_i² + (∑x_i)²) - (Nx + (∑x_i)²)) / N) ² = √((∑x_i² + (∑x_i)²) / N - x) ²

其中，∑x_i² + (∑x_i)²表示数据点的平方累加和与数据点之和的平方和，x表示平均值的平方。 ²

因此，我们可以将标准差的计算公式简化为：

标准差 = √((∑x_i² + (∑x_i)²) / N - x) ²

这个公式的计算过程更加简明，避免了重复计算和冗长的表达式，可以更方便地求解一组数据的标准差。

总结起来，标准差的计算公式可以通过一系列的变形和简化得

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