物理背景及其含义

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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

一 导



（1）两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量a,b，作OAa,OBb，则



AOB叫做向量a与b的夹角。如果AOB,则的取值范围是：001800

0

当 0 时，表示a与b同向；

0

当 180 时，表示a与b反向；

0

当 90 时，表示a与b垂直。记作：ab.



（2）复习：如右图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W= FScos ，其中是F与s的夹角.

二 学

阅读P103页 思考平面向量数量积的定义并填空：

1、平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a与b，我们把向量 叫做a与b

的 （或 ），记作ab，即ababcos（其中是a与b的夹角）。 我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。

问题1：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？



2、平面向量数量积的性质：设a与b均为非零向量：

（1）若a、b是非零向量，则：ab ；

（2）若a与b同向，则ab= ；若a与b反向，则ab= ； 特别的，aa= ,a= ; (3) ab ；（4）cos

3、向量投影的概念：

（1）我们把 （ ）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影；

（2）数量积的几何意义：ab的几何意义：______________________________________

abab



1






4、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a，b，c与实数。 

①ab＝___________；



②ab＝___________；

a+b③c＝___________。



问题2：同学们能推导向量数量积的上述运算律吗？

问题3：我们知道，对任意a,bR，恒有aba22abb2，ababa2b2



对任意向量a,b，是否也有下面类似的结论？

2

 ； ⑵abab .

⑴ab

三 研

2

例1 已知a5，b4，a与b的夹角120，求ab



rrrrr

变式一：已知a4，b4，ab82，求a与b的夹角



例2 已知a6,b4,a与b的夹角为60，求a2b(a3b)。

2












变式二：已知a6,b4,a与b的夹角为60，求ab和ab



例3 已知a3,b4，且a与b不共线。k与何值时，向量akb与akb互相垂直？

变式三：判断下列命题的真假，并说明理由.



（1）ABC中，若ABBC0，则ABC是锐角三角形；



（2）ABC中，若ABBC0，则ABC是钝角三角形；



（3）ABC为直角三角形，则ABBC0.

四 展、评。学生展演，教师点评，自我小结

3

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